SVM是一种二元分类模型（当然它也可以处理回归问题），它通过训练样本寻找分隔两类样本的最优决策边界（超平面），使得两类样本距离决策边界的距离最远（例如H3）。其中距离决策边界最近的样本称为支持向量（即深色的苹果和香蕉），支持向量所在的与决策平面平行的平面称为支撑平面（虚线），支撑平面与决策平面的距离称为间隔（margin），SVM寻找最优决策边界实际上就是要最大化（最大可信度）两个支撑平面的间隔（决策平面位于两者的中间）。
SVM 模型根据数据集的差异可以分为三种类型：
- 线性可分 => 硬间隔最大化 => 线性可分SVM
- 线性不可分（有噪音）=> 软间隔最大化 => 线性 SVM（引入松弛变量和惩罚函数）
- 非线性可分 => 软间隔最大化 + 核函数 => 非线性 SVM
一、线性可分（硬间隔最大化）
假设决策超平面为: W·X + b = 0
正类支撑平面为: W·X + b = γ
由对称关系可知负类支撑平面为: W·X + b = -γ
由于平面等比例缩放依然属于同一平面, 即 5W·X + 5b = 5 与 W·X + b = 1 是同一个平面
所以前面的假设可以更简洁地表示为（按γ等比例缩放）：
决策平面: W·X + b =0
正类的支撑平面: W·X + b = 1
负类的支撑平面: W·X + b = -1
要求满足以下规则：
计算两个支撑平面的距离（margin）
由两平面距离公式可知，平面 W·X + b + 1 = 0 与平面 W·X + b -1 = 0的距离为：
所以要最大化margin相当于要最小化 ||w|| 即等价于：
最终的优化问题（目标函数）变成:
二、线性不可分（软间隔最大化）
当训练数据含有噪音数据时，如果进行硬间隔最大化可能会导致间隔过小甚至无法求解。
此时我们引入松弛变量（Slack Variable）ξ (epsilon ξ≥0) ，将原来的不等式约束变为：
松弛变量相当于为支撑平面提供了一个容错的区间，允许噪音数据存在（误分类样本），当松弛变量越大那么容错范围越大，反之，当ξ=0，等价于硬间隔最大化。当然我们不能无限制地容错，为了调和“间隔最大化”和“区分最大化”我们引入惩罚参数C，目标函数变成：
说明：相当于将“经验风险最小化问题”转变为引入了置信风险的“结构风险最小化问题”
说明：ξ_i≥0 与 hinge loss：max(0,1-y_i (w^T x_i+b)) 实际上是等价的。
当C 越大，模型对误分类的惩罚越大，相当于分类更精确，但同时会牺牲间隔距离，可能导致过拟合。
当C 越小，模型对误分类的惩罚越少，相当于更倾向于间隔距离最大化以提升泛化能力，但同时牺牲了分割性，可能导致欠拟合。